Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 6 + 0 & 0 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 6 + 0 & 0 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 6 + 0 & 0 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 6 + 0 & 0 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 + 0 & 0 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $6$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.13

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.14

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 2 & 0 \\ 6 & - λ & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 7 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $4$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 & 0 \\ - λ & 2 & 0 \\ 1 & - 7 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 2 & 0 \\ - λ & 2 & 0 \\ 1 & - 7 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 0 \\ 0 & - 7 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{42}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 0 \\ 0 & - 7 - λ & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 6 & - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{43}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 6 & - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 2 & 0 \\ - λ & 2 & 0 \\ 1 & - 7 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 0 \\ 0 & - 7 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 6 & - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 0 & 2 & 0 \\ - λ & 2 & 0 \\ 1 & - 7 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} - λ & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 0 \\ 0 & - 7 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 6 & - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - λ & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 0 \\ 0 & - 7 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 6 & - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 6 & - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} - λ & 0 & 2 \\ 6 & - λ & 2 \\ 0 & 1 & - 7 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 2 \\ 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - λ & 2 \\ 1 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 0 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 0 & - 7 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ | \begin{array}{c} - λ & 2 \\ 1 & - 7 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 0 & - 7 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 0 & - 7 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ | \begin{array}{c} - λ & 2 \\ 1 & - 7 - λ \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - λ & 2 \\ 1 & - 7 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (- λ (- 7 - λ) - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (- λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.4.3

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ + λ^{2} - 1 \cdot 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (7 λ + λ^{2} - 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.3.2.2

Riordina $7 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 6 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 0 + 2 (6 \cdot 1 + 0 (- λ)))$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 0 + 2 (6 + 0 (- λ)))$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Moltiplica $0 (- λ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 0 + 2 (6 + 0 λ))$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 0 + 2 (6 + 0))$

Passaggio 5.5.4.2.2

Somma $6$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 0 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Somma $- λ (λ^{2} + 7 λ - 2)$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ (λ^{2} + 7 λ - 2) + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot - 2 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.1

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.1.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- (λ^{2} λ) - λ (7 λ) - λ \cdot - 2 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.2.1.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.2.1.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (7 λ) - λ \cdot - 2 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{2 + 1} - λ (7 λ) - λ \cdot - 2 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - λ (7 λ) - λ \cdot - 2 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ - λ \cdot - 2 + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ + 2 λ + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.3.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.3.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot 7 (λ \cdot λ) + 2 λ + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.3.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot 7 λ^{2} + 2 λ + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 2 \cdot 6)$

Passaggio 5.5.5.2.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Combina i termini opposti in $0 + 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $0$ e $(1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$

Passaggio 5.6.2

Espandi $(1 - λ) (- λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- 7 λ^{2}) + 1 (2 λ) + 1 \cdot 12 - λ (- λ^{3}) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Moltiplica $- λ^{3}$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (- 7 λ^{2}) + 1 (2 λ) + 1 \cdot 12 - λ (- λ^{3}) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.2

Moltiplica $- 7 λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 12 - λ (- λ^{3}) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.3

Moltiplica $2 λ$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 12 - λ (- λ^{3}) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 - λ (- λ^{3}) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + 1 λ^{4} - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - λ (- 7 λ^{2}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 1 \cdot - 7 λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 1 \cdot - 7 (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 1 \cdot - 7 (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 1 \cdot - 7 λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 1 \cdot - 7 λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} + 7 λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} + 7 λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} + 7 λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} + 7 λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} + 7 λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 12$

Passaggio 5.6.3.15

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} + 7 λ^{3} - 2 λ^{2} - 12 λ$

Passaggio 5.6.4

Somma $- λ^{3}$ e $7 λ^{3}$ .

$p (λ) = 6 λ^{3} - 7 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 2 λ^{2} - 12 λ$

Passaggio 5.6.5

Sottrai $2 λ^{2}$ da $- 7 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{3} - 9 λ^{2} + 2 λ + 12 + λ^{4} - 12 λ$

Passaggio 5.6.6

Sottrai $12 λ$ da $2 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{3} - 9 λ^{2} - 10 λ + 12 + λ^{4}$

Passaggio 5.6.7

Sposta $12$ .

$p (λ) = 6 λ^{3} - 9 λ^{2} - 10 λ + λ^{4} + 12$

Passaggio 5.6.8

Sposta $- 10 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{3} - 9 λ^{2} + λ^{4} - 10 λ + 12$

Passaggio 5.6.9

Sposta $- 9 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{3} + λ^{4} - 9 λ^{2} - 10 λ + 12$

Passaggio 5.6.10

Riordina $6 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} + 6 λ^{3} - 9 λ^{2} - 10 λ + 12$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} + 6 λ^{3} - 9 λ^{2} - 10 λ + 12 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$λ \approx - 7.04202552, - 1.28455098, 1, 1.32657651$